高職微積分對於答案感到困惑

jack24133

答案是兩題都是1嗎還是一題是0,一題是無限大
又或是兩題都是0.......
上課時無聊做出來感到很無解的一題
每個人答案都不一樣......

夜之吸血騎士

第一題把無限大帶進去的話分母大於分子所以是0.幾吧這樣N次方後是無限接近於0吧，第二個帶進去的話裡面括號得出來都是1.000....多吧，這樣會無線接近於1這樣N次方後也是無限接近於1

snowflying

第一題應該是 1/e

       [lim n->∞] ( (n + 1) / n)^n
    = [lim n->∞] (1 + 1/n)^n
    = e
所以 [lim n->∞] ( n / (n + 1))^n = 1/e

第二題應該是 e


第一題取倒數後，下面式子 x = 1
第二題取倒數後，下面式子 x = -1
所以分別是 e 和 1/e
...

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教授之王

兩題的答案都是 1，我使用的是 L'Hospital 法則

jack24133

snowflying 發表於 2015-6-6 01:38 PM

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第一題應該是 1/e

       [lim n->∞] ( (n + 1) / n)^n

感謝了今天問老師也是一樣的答案
可是他說80幾年的題目了.......
...

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antonius

  這題用數列方法, 也可以解:
   
  第二題類推.

  還是讓 SnowFlying 拔得頭籌了. 這項是在工程數學的數列與級數
  的部分. 至於用羅必達法則討論, 我就沒輒了.

joezi

用 L'Hôpital's rule的話
要先設y=(n/(n+1))^n
所以ln(y)=n*ln(n/(n+1))={ln[n/(n+1)]}/(1/n)
所以知道
lim{ln(y)}是lim{ln[n/(n+1)]}=0且lim(1/n)=0的0/0不定型
根據L'Hôpital's rule跟chain rule
=>lim{ln(y)}=lim{[(n+1)/n]*([(n+1)-n]/(n+1)^2)}/(-1/n^2)=lim(-n/(n+1))=-1
=>lim(y)=e^(-1)

同理第二小題設y=(n/(n-1))^n
ln(y)={ln[n/(n-1)]}/(1/n)
...

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koshi0312

一題把無限大帶進去的話分母大於分子所以是0.幾吧這樣N次方後是無限接近於0吧，第二個帶進去的話裡面括號得出來都是1.000....多吧，這樣會無線接近於1這樣N次方後也是無限接近於1

joezi

第一題來說，
如果直接帶入的話，會形成a^∞，這裡0<a<1。
是會愈來愈小沒錯，
但是a也不是定值，
次方愈大a愈接近1，
也就是次方與底數會互相拉扯最後的極限值，
最後會誰贏無法看的出來，
所以才需要用其他方法來分析。

第二題也是一樣，
如果直接帶入的話，會形成a^∞，這裡1<a。
...

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jack24133

joezi 發表於 2015-6-13 10:27 PM

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第一題來說，
如果直接帶入的話，會形成a^∞，這裡0

也就是次方與底數會互相拉扯最後的極限值
我一開始就是想看誰會贏才設計出這題der~~...

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joezi

jack24133 發表於 2015-6-14 04:55 PM

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也就是次方與底數會互相拉扯最後的極限值
我一開始就是想看誰會贏才設計出這題der~~ ...

這種(a^n)形式的極限有很多!!
...

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教授之王

感謝 joezi 的提供，讓我對於微分有另一部的體會 !